ここまでの「数学」という科目からは変わり、大学からの数学は線形代数や微分積分などさらに専門性が増していく。そして今回はその中でも特に重要な線形代数に焦点を当てて、その重要性や勉強法を紹介します。
線形代数は重要？
結論から言えば線形代数という科目は大学数学の中でも極めて重要です。その理由としては、線形代数を用いて計算・演算する機会が、どの分野を勉強していても多くなるからです。その代表的な例を以下に述べます。
物理学
物理学では、物理現象を表す微分方程式や積分方程式を解くことが求められます。こうした方程式は、しばしば線形代数の手法を用いて解かれます。
例えば、力学では、物体の運動を表す微分方程式を解くことが求められます。この微分方程式は、通常、行列やベクトルを用いて表現されます。また、電磁気学では、電場や磁場を表すベクトル場を扱います。これらのベクトル場は、線形代数の手法を用いて解析されます。
機械学習
線形代数は、機械学習においても重要な役割を果たしています。機械学習では、データの分析やモデルの構築に多くの数学的手法が用いられますが、その中でも特に線形代数が重要なのです。
例えば、多くの機械学習アルゴリズムでは、データを行列やベクトルとして表現します。そのため、行列やベクトルの演算を熟知していることが必要不可欠です。また、機械学習においては、多くの場合、最適化問題を解く必要があります。この際にも、線形代数の手法が用いられます。
特に、主成分分析（PCA）や線形回帰（linear regression）などの手法においては、線形代数が重要な役割を果たします。PCAは、多次元データの情報を線形結合によって圧縮する手法であり、線形代数の理論を用いて実現されます。線形回帰は、入力と出力の関係を線形モデルで表現する手法であり、行列演算を用いてパラメータを最適化します。
コンピュータグラフィックス
コンピュータグラフィックスは、コンピュータを用いた画像処理技術の一分野であり、映像や画像の合成、3Dモデリング、アニメーションなどに応用されます。線形代数は、コンピュータグラフィックスにおいても重要な役割を果たしています。
例えば、3Dモデリングでは、オブジェクトの位置、向き、形状をベクトルや行列で表現します。また、立体物の光の反射を表現する場合にも、ベクトルの内積などの線形代数の演算が使用されます。
また、アニメーション制作においても、線形代数が使われます。アニメーションは、連続した静止画像を生成して再生することで実現されます。この際には、オブジェクトの移動や変形を表現するために、行列やベクトルの演算が用いられます。
さらに、画像処理においても、線形代数の手法が用いられます。画像は、ピクセルの配列として表現されますが、この配列は行列として扱うことができます。画像の変換や処理においては、行列の演算を用いることが多く、線形代数が不可欠な知識となります。
量子力学
量子力学は、物理学において極めて重要な分野であり、特に原子物理学や素粒子物理学において不可欠な理論です。量子力学では、物理量を表現するために線形代数が使用されます。
物理量は、量子力学ではオペレーターとして表現されます。これは、線形演算子として表現されるため、線形代数が不可欠な知識となります。また、量子状態もベクトルとして表現されるため、線形代数の知識が必要となります。
また、量子ビットを用いた量子コンピュータにおいても、線形代数が重要な役割を果たします。量子ビットの状態を表すために、複数の量子ビットのテンソル積が使用されます。また、量子演算子も線形演算子で表現されるため、線形代数の知識が必要となります。
線形代数の知識がなければ、量子力学や量子コンピュータの理解が困難となります。以上のように、線形代数は量子力学において不可欠な知識となります。
線形代数の勉強法
ここまで線形代数の重要性について、必要とする分野を絡めながら説明してきました。ここからは線形代数をどのように勉強していけば良いのかという、勉強方法について説明していきます。
教科書
線形代数の基礎的な知識を学ぶためには、教科書を読むことが有効です。
代表的な教科書に「大学教養線形代数（数研講座シリーズ）」があります。
初学者向けの教科書から、応用的な内容を扱った教科書まで、様々なレベルの教科書が存在します。自分に合った教科書を選び、基礎的な概念をしっかりと理解しましょう。
参考書
理解を深めるためには、教科書だけでなく、参考書にも手を伸ばしてみましょう。
代表的な参考書に「意味がわかる線形代数（Beret science）」があります。
線形代数に関する参考書や解説書を読むことで、より深い理解を得ることができます。特に、線形代数を応用する分野に興味がある場合には、その分野に特化した書籍を探すと良いでしょう。
問題集
さらに問題をたくさん解くということも大切です。
代表的な問題集に「大学教養線形代数（チャート式シリーズ）」があります。
こちらは高校生の際に多くの受験生が使用する、チャート式数学と同様の問題集であり、慣れ親しんでいると思います。問題数をこなすためにこのような問題集にも手を付けてみましょう。
YouTube
最近ではYouTubeに線形代数やその他大学の内容を解説している動画がたくさん存在します。
代表的なYouTubeチャンネルに「予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」」があります。
ここでの線形代数における講義は大学の講義よりも断然分かりやすいと私は思っています（笑）。
まとめ
この記事では線形代数の重要性と勉強方法について書きました。参考になれば幸いです。
重要性の部分では専門用語がたくさん出てきていて分からなかったかもしれませんが、勉強を重ねていくうちに分かるようになってくると思いますし、まずは線形代数を勉強してからという部分もありますので、とりあえず「線形代数ってめちゃくちゃ大切なんだ！」くらいに思ってくれれば問題ないです。
大学に入って最初の方（おそらく１回生）で履修することとなると思いますので、後々自分を苦しめないように線形代数の勉強、頑張ってください！
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